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    Come trasformare la complessa matematica del calcolo vettoriale in semplici immagini

    I matematici vogliono introdurre nel calcolo vettoriale lo stesso cambiamento rivoluzionario dei diagrammi di Feynman nella fisica delle particelle.

    di ArXiv

    Nel 1948, la rivista “Physical Review” pubblicò un articolo intitolato “Approccio spazio-temporale all’elettrodinamica quantistica” di un giovane fisico di nome R.P. Feynman alla Cornell University. In questo “saggio” si descriveva un nuovo modo di risolvere i problemi dell’elettrodinamica usando le matrici. Tuttavia, oggi viene ricordato per un’invenzione molto più potente: il diagramma di Feynman, che è apparso lì per la prima volta in stampa.

    I diagrammi di Feynman hanno avuto un enorme impatto in fisica. Sono rappresentazioni pittoriche della matematica che descrivono l’interazione tra particelle subatomiche. Matematicamente, ogni interazione è una serie infinita, quindi anche le semplici interazioni tra particelle sono incredibilmente complesse da rappresentare in questo modo.

    Il genio di Feynman era quello di rappresentare queste serie con linee semplici in un formato grafico, permettendo agli scienziati di pensare alla fisica delle particelle in modi nuovi e produttivi.

    Feynman e altri iniziarono immediatamente ad ampliare le loro idee usando questa scorciatoia grafica. In effetti, il fisico americano Frank Wilcjek, che ha lavorato con Feynman negli anni 1980, ha scritto una volta: “I calcoli che alla fine mi hanno procurato un premio Nobel nel 2004 sarebbero stati letteralmente impensabili senza i diagrammi di Feynman”.

    Naturalmente, molte altre aree della fisica si basano su forme matematiche complesse. E ciò solleva l’interessante domanda se le innovazioni basate sulla grafica possano semplificare questi calcoli e forse dare il via a una nuova era di innovazione, proprio come è successo con Feynman.

    Joon-Hwi Kim della Seoul National University, in Corea del Sud, e un paio di colleghi hanno messo a punto un’innovazione simile per il calcolo vettoriale: una scorciatoia basata sulla grafica per uno dei più comuni e potenti strumenti matematici nella scienza. “Prevediamo”, essi affermano, “che il calcolo grafico vettoriale abbasserà le barriere nell’apprendimento e nella pratica del calcolo vettoriale, come hanno fatto i diagrammi di Feynman nella teoria dei campi quantistici”.

    Un piccolo passo indietro per capire meglio. Il calcolo vettoriale è il ramo della matematica che si occupa della differenziazione e dell’integrazione dei campi vettoriali. La ragione per cui è così importante in fisica è che più o meno tutto nell’universo può essere descritto in termini di campi vettoriali: campi elettromagnetici, campi gravitazionali, flusso di fluidi e così via.

    Per questa ragione gli studenti di fisica e ingegneria passano molto tempo a studiare matematica. Il problema è che i campi vettoriali sono entità complesse: assegnano un singolo vettore a ogni punto dello spazio tridimensionale e possono essere essi stessi rappresentazioni di oggetti matematici più complessi chiamati varietà differenziabili. Quindi, nella sua forma più semplice, un campo vettoriale può essere un elenco infinito di vettori.

    I matematici rappresentano questi campi usando un approccio chiamato notazione degli indici. I problemi sorgono quando le quantità annotate interagiscono matematicamente. I campi vettoriali possono essere moltiplicati per un numero scalare o tra loro in due modi diversi, noti come prodotto punto e prodotto incrociato. E i risultati possono essere incredibilmente complessi: enormi matrici multidimensionali.

    In tutti questi casi, gli indici dei campi vettoriali coinvolti devono essere tracciati attentamente. Qualsiasi fisico sa quanto è facile perdere un indice e il lavoro necessario per ritrovarlo.

    La sfida è capire come questi campi cambiano nel tempo, o in relazione ad altre variabili. Questo è il problema della differenziazione, per il quale i fisici hanno sviluppato una gamma di strumenti noti come operatori, tra i quali il più famoso è l’operatore Del.

    Il passo avanti che Kim e colleghi hanno fatto è quello di sviluppare una notazione basata sulla grafica in grado di sostituire la notazione dell’indice. I ricercatori rappresentano un vettore come una scatola con una linea collegata ad esso. Al contrario, uno scalare non ha linee che si estendono da esso.

    Quando due vettori si moltiplicano insieme tramite un prodotto punto, il risultato è una quantità scalare. La notazione di Kim e colleghi si occupa automaticamente di questo. In un prodotto punto, le linee associate ai due vettori si collegano tra loro, creando un oggetto senza linee esterne, in altre parole uno scalare.

    Ma un prodotto incrociato tra due vettori produce un altro vettore, e di nuovo la notazione la gestisce automaticamente. La grafica di un prodotto a croce ha una forma a Y, con le linee dei due vettori che si collegano a un terzo che si estende. In altre parole, si forma un vettore.

    Questo è solo l’inizio. I ricercatori descrivono una vasta gamma di altri strumenti matematici, come l’operatore Del, insieme a varie importanti identità utilizzate nel calcolo vettoriale. Ed estendono le loro idee ai tensori, che sono oggetti matematici più complessi, ciascuno con due o più indici.

    I risultati permettono di ottenere notevoli economie. Kim e colleghi mostrano come la loro notazione trasforma complesse espressioni matematiche in una grafica relativamente semplice, proprio come i diagrammi di Feynman. “Il linguaggio è altamente intuitivo e semplifica automaticamente le espressioni tensoriali”, essi spiegano.

    Kim e colleghi dicono che il loro approccio trasforma il calcolo del campo vettoriale in un compito visivo, vicino per molti versi alle creazioni con i mattoncini Lego. “Come i diagrammi di Feynman sono il linguaggio più naturale per descrivere il processo microscopico di particelle elementari, la notazione grafica è il linguaggio canonico del sistema di calcolo vettoriale”, continuano i ricercatori.

    Il potenziale della ricerca è alto. Non c’è dubbio che i diagrammi di Feynman abbiano cambiato il modo in cui i fisici pensano alla fisica delle particelle, ma il calcolo vettoriale ha una portata ancora maggiore come base matematica di gran parte della fisica e dell’ingegneria moderne.

    La domanda è se queste idee si diffonderanno. Ciò determinerà se questa notazione grafica innesca un cambiamento trasformativo nel modo in cui pensiamo alla fisica o forma una curiosa nota a piè di pagina nella storia delle innovazioni matematiche. Ad ogni modo, Feynman si sarebbe sicuramente divertito.

    (rp)

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