L’apprendimento automatico offre un modo completamente nuovo di affrontare uno dei problemi classici della matematica applicata.
di ArXiv
Nel XVIII secolo, la grande sfida scientifica dell’epoca era quella di trovare un modo per i marinai di determinare la loro posizione in mare. Una delle soluzioni di maggior successo era misurare la posizione della luna nel cielo rispetto allo sfondo fisso delle stelle.
A causa degli effetti di parallasse, questa misurazione dipende dalla posizione dell’osservatore. E confrontando la posizione misurata con una tabella di posizioni calcolate per un osservatore sito a Greenwich in Inghilterra, i marinai potevano determinare la loro longitudine.
Ma c’era un problema. Calcolare la posizione della luna in anticipo è più difficile di quanto sembri. Il sole esercita una piccola, ma significativa, azione gravitazionale sulla luna. E questi rapporti intrecciati rendono il movimento della Terra, della luna e del sole un problema a tre corpi, uno che molti matematici hanno affrontato senza soluzione di continuità.
La difficoltà è che questo tipo di movimento a tre corpi è caotico, tranne alcuni casi speciali. Quindi non esiste un modo semplice per calcolare le posizioni esatte che i corpi possono assumere. Ciò ha causato errori nelle tabelle di navigazione lunari che a volte hanno portato a risultati inaccurati e potenzialmente fatali.
Tuttavia, i marinai hanno sfruttato al meglio questa tecnica imperfetta fino alla metà del XIX secolo, quando i cronometri marini divennero abbastanza economici e precisi da essere ampiamente utilizzati a bordo delle navi. Alla fine, il metodo del cronometro, inventato da John Harrison, divenne il modo preferito per calcolare la longitudine.
Tuttavia, il problema dei tre corpi continua a perseguitare i matematici. Il problema attuale è determinare la struttura degli ammassi stellari globulari e dei nuclei galattici, che dipendono dall’interazione tra i buchi neri binari e i buchi neri singoli.
L’avvento di potenti computer consente ai matematici di calcolare iterativamente le posizioni di questi buchi neri, ma questa operazione richiede enormi risorse computazionali e anche in questo caso alcune soluzioni rimangono al di là della loro comprensione. Quindi è disperatamente necessario un sistema più potente per risolvere il problema dei tre corpi.
Philip Breen dell’Università di Edimburgo e alcuni colleghi hanno creato una rete neurale per calcolare tali soluzioni. La grande novità è che la loro rete offre soluzioni accurate a un costo computazionale fisso e fino a 100 milioni di volte più veloce dei dispositivi oggi a disposizione.
Il metodo di allenamento per le reti neurali richiede un database di problemi a tre corpi con le soluzioni calcolate dai sistemi già in uso.
Breen e colleghi semplificano innanzitutto il problema limitandolo a quelli che coinvolgono tre particelle di massa uguale in un piano, ciascuna con velocità zero per cominciare. Scelgono le posizioni iniziali a caso e risolvono il movimento dei tre corpi usando un approccio all’avanguardia chiamato Brutus. Quindi ripetono questo processo 10.000 volte.
Il team usa 9.900 esempi per addestrare la propria rete neurale e 100 per convalidarla. Infine, testano la rete con 5.000 situazioni completamente nuove e confrontano le previsioni con quelle calcolate da Brutus.
I risultati sono interessanti. La rete neurale predice accuratamente il movimento futuro dei tre corpi e, in particolare, emula correttamente la divergenza tra le traiettorie vicine, replicando in buona parte le simulazioni di Brutus. “Abbiamo dimostrato che le reti neurali artificiali profonde producono soluzioni rapide e accurate al problema computazionale a tre corpi in un intervallo di tempo fisso”, affermano Breen e colleghi.
Inoltre, testano le previsioni della rete neurale verificando i consumi di energia. Con alcune modifiche, le previsioni della rete soddisfano le condizioni di risparmio energetico con un errore di soli 10 alla -5.
È un risultato impressionante che ha un potenziale significativo. In particolare, Breen e altri affermano che la rete neurale potrebbe aiutare a risolvere i problemi dei tre corpi in situazioni che a livello computazionale non sono affrontabili da Brutus.
Il loro obiettivo è quella di creare un sistema ibrido, nel quale Brutus svolge il lavoro pesante, ma quando l’onere computazionale diventa troppo grande, la rete neurale interverrà per far tornare il sistema alla normalità.
In questo modo, le reti neurali dovrebbero consentire di simulare il movimento dei corpi neri all’interno dei nuclei galattici e degli ammassi stellari globulari in modo più accurato che mai.
E questo è solo l’inizio. “Alla fine, immaginiamo, che la rete possa essere addestrata ad affrontare problema ancora più complessi, come quelli a 4 e 5 corpi, riducendo ulteriormente il carico computazionale”, affermano Breen e altri.
Immagine: Getty Images / Ms. Tech
(rp)
