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    Un nuovo modo di semplificare le equazioni quadratiche

    Molti ex studenti di algebra hanno dolorosi ricordi della lotta per memorizzare la formula quadratica; un nuovo procedimento, trascurato per 4000 anni, è così semplice da eliminare il problema.

    di ArXiv

    Gli antichi babilonesi erano decisamente organizzati. Tra i molti successi straordinari, hanno trovato una soluzione matematica ormai famosa per una spiacevole sfida: pagare le tasse.

    Il problema dei babilonesi, legato al lavoro quotidiano, era il seguente: Quali dovrebbero essere le dimensioni del mio campo per pagare l’imposta dovuta in raccolti?

    Questo problema può essere annotato come un’equazione quadratica della forma Ax2 + Bx + C = 0 Ed è risolto con questa formula:

    Figura 1



    Oggi, oltre 4.000 anni dopo, milioni di persone hanno la formula quadratica impressa nelle loro menti grazie al modo in cui la matematica viene insegnata in tutto il pianeta.

    Ma molte meno persone sono in grado di risolvere questa espressione. Ciò è dovuto anche al modo in cui viene insegnata la matematica: la consueta derivazione si basa su un trucco matematico, chiamato “completamento del quadrato”, tutt’altro che intuitivo. In effetti, dopo i babilonesi, ci sono voluti molti secoli per superare questa difficoltà.

    Prima e dopo, i matematici hanno trovato una vasta gamma di altri modi per ricavare la formula. Ma sono tutti complessi e non intuitivi.

    Quindi è facile immaginare che i matematici debbano aver considerato risolto il problema. Non ci può essere un modo migliore per derivare la formula quadratica.

    Ma Po-Shen Loh, un matematico alla Carnegie Mellon University di Pittsburgh, ha trovato un modo più semplice, che sembra essere passato inosservato in questi 4000 anni.

    L’approccio di Loh non si basa sul completamento del quadrato o su altri difficili trucchi matematici. In effetti, funziona come un metodo generale, il che significa che gli studenti non devono assolutamente ricordare la formula.

    “La derivazione ha il potenziale per demistificare la formula quadratica agli occhi degli studenti di tutto il mondo”, afferma Loh. Il nuovo approccio è semplice. Si parte dal presupposto che un’equazione quadratica abbia due soluzioni, o radici. Se le chiamiamo R e S, possiamo scrivere:

    x2+ Bx + C = (x-R) (x-S)

    Si noti che il lato sinistro è uguale a 0 quando x = R o quando x = S. Queste sono le radici.

    Moltiplicando il lato destro si ottiene

    x2 + Bx + C = x2– (R + S)x + RS

    Questo è vero quando -B = R + S e quando C = RS.

    Loh sottolinea che le due radici, R e S, si sommano a -B quando la loro media è -B/2.

    “Quindi cerchiamo due numeri della forma -B/2 ± z, dove z è una singola quantità sconosciuta”, egli afferma. Possiamo quindi moltiplicare questi numeri tra loro per ottenere un’espressione per C. Quindi

    Figura 2

    Con un semplice calcolo diventa:

    Figura 3



    Ciò significa che la soluzione per un’equazione quadratica è:

    figura 4



    Ecco! Questa è la formula quadratica.

    [La versione più generale può essere derivata dividendo l’equazione Ax2+ Bx + C = 0 per A per arrivare a
    x2 + B/Ax + C/A = 0 e quindi ripetendo il processo sopra].

    Si tratta di un miglioramento significativo rispetto al metodo precedente e Loh mostra il perché con un semplice esempio.

    Trova le radici del seguente quadratico: x2 – 2x + 4 = 0

    Il metodo tradizionale sarebbe quello di elaborare i valori per A, B e C e inserirli nella formula quadratica. Ma l’approccio di Loh risolve il problema in modo intuitivo. Il primo passo è pensare che le due radici dell’equazione debbano essere uguali a -B/2±z = 1±z

    figura 5

    E poiché il loro prodotto deve essere C=4, si può scrivere:



    Quindi le radici sono

    Figura 6



    Cercare di risolvere lo stesso problema usando il metodo tradizionale è molto più complicato. Il nuovo sistema è molto più semplice e intuitivo, anche perché non richiede affatto che la formula sia memorizzata.

    Una domanda interessante è capire perché nessuno si è mai imbattuto in questo metodo prima. Loh ha cercato nella storia della matematica un approccio simile al suo, ma non ha ottenuto alcun risultato. Ha esaminato i metodi sviluppati dagli antichi babilonesi, cinesi, greci, indiani e arabi, nonché quelli adottati dai matematici moderni dal Rinascimento fino ad oggi. Nessuno di loro sembra aver fatto questo passo, anche se l’algebra è nota da secoli.

    Allora perché adesso? Loh pensa che sia correlato al modo in cui l’approccio convenzionale dimostra che le equazioni quadratiche hanno due radici. “Forse il motivo è perché in realtà è matematicamente non banale fare l’implicazione inversa, vale a dire che ha sempre due radici e che quelle radici hanno la somma -B e il prodotto C”, egli spiega.

    Loh, che insegna matematica ed è un divulgatore conosciuto di questa disciplina, ha scoperto il suo metodo durante l’analisi dei curricula di matematica degli studenti, con l’obiettivo di trovare nuovi modi di spiegare l’argomento. La derivazione è emersa da questo processo.

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